[科普中国]-素函数

素函数(prime function)是函数分解论中一类具特殊性质的函数。设F(z)为一亚纯函数，若F的任一个分解式f°g中，必导致f或g为一双线性函数时，则称F为素函数。

概念素函数(prime function)是函数分解论中一类具特殊性质的函数。设F(z)为一亚纯函数，若F的任一个分解式f°g中，必导致f或g为一双线性函数时，则称F为素函数。特别地，F(z)为一整函数，若因子皆为整函数的任一分解，必导致f或g为线性因子时，则称F为E素的。已经证明，凡是一个非周期性的E素的整函数也必为素的。

左素函数亚纯函数分解论中的一个概念。设F(z)为一亚纯函数，若F(z)的每一形如F(z)=f(g(z))的分解，当g为超越函数时，f必为双线性的(当f为超越函数时，g必为双线性的)，则称F为左(右)素函数。

亚纯函数分解论研究亚纯函数在复合意义下分解性质的理论，它主要探讨对于一个给定的亚纯函数可否以及如何将它分解成为两个或两个以上的非双线性亚纯函数的复合。1952年，罗森布弄姆(Rosenbloom，P.C.)将整函数迭代的不动点的结果推广到两个整函数复合时不动点的存在性与数量的研究时，首先提出了整函数的“分解”一词及素函数的定义，并指出函数e+z为一素函数。1968年，贝克(Baker，I.N.)与格罗斯(Gross，F.)正式证明了：对任一非常数多项式p(z)，e+p(z)为素函数。同年格氏还将分解研究推广到亚纯函数族。几乎同时，在1972年左右，格罗斯与杨重骏(Yang，C.C.)、哥尔德斯坦(Goldstein，R.)及普罗科波维奇(Prokopovich，G.S.)等人分别用不同的方法，解决对函数族p1(z)e+p3(z)(p1，p2，p3皆为多项式，p1(z)≢0，p3(z)及p2(z)≢常数)的分解问题。1

经过美、中、日、苏、德、英等国的一些复变函数专家20多年的努力，函数分解论研究有了多方面的进展。但迄今为止，具有较重大意义的分解论的结论并不多。一般仅是一些素函数族的建造，拟素函数的判定法则，及建造某些具分解惟一性的整函数族等，而像素函数的必要条件和因子为素函数的超越整函数的分解是否(在等价意义下)具惟一性等基本问题仍尚待解决及突破。

目前，研究一个函数能否分解，除从其本身(或其导函数)的特殊性质，如其增长性、周期性、零点的分布、有无亏值或是否满足某些特殊形式的微分方程等来着手外，还要配合因子增长受函数本身增长之限制，使得所考虑的因子范围有所界定。因此，分解论研究很自然地以古典函数论及奈望林纳(Nevanlinna，R.)的值分布论为主要理论工具。这既可解决分解论的一些问题，又使值分布论得到了充实。例如函数与其因子间的增长关系的一些改进结果，函数方程的一些简化形式及复合函数不动点的数量估计等。

1970年，罗森布弄姆曾提出如下的猜测：设f，g为非线性整函数，如果f(g)为超越的，则它必有无穷多个不动点。上述猜测相当于称对任何非常数整函数α(z)及多项式p(z)(≢0)，z+p(z)e必为素函数。此猜测在f(g)为有穷级时已在前面提到的对p1(t)e+p3(z)的分解研究中得到了解决.f(g)为无穷级的情形，直到1988年才由伯格维诺(Bergweiler，W.)所解决。除此较重大的成果外，另一是早先施泰因梅茨(Steinmetz，N.)于1980年所证明的：任何一个满足系数为多项式的线性常微分方程的亚纯函数解必为拟素的。从此开启了人们对常微分方程亚纯函数解的分解讨论并取得一系列进展.施氏所用的函数方程简化定理成为分解论中的一个重要方法。

最近，中国数学家已开始对代数体函数的分解及多变数整函数的分解进行研究，给出了初步的定义和结果。

亚纯函数除极点外为全纯的函数为亚纯函数，它是复变函数论研究的主要对象之一。

德国数学家外尔斯特拉斯、瑞典数学家米塔-列夫勒、法国数学家柯西等都是亚纯函数理论的奠基人。1876年，外尔斯特拉斯证明了一个亚纯函数可以表示为两个整函数的商。第二年，瑞典数学家米塔-列夫勒推广了外尔斯特拉斯的结果，证明在任意一个区域上的亚纯函数皆可表示为两个函数的商，其中每一个都在该区域内解析。法国数学家柯西也曾给出一种分解方法，对相当广的一类亚纯函数得到简单的表示式。

近代亚纯函数理论是20世纪20年代由芬兰数学家奈望林纳所创立。他在1925年发表了亚纯函数的一个一般性理论，这个理论中有两个基本定理分别被称为第一基本定理和第二基本定理，从它们可以推出一系列关于亚纯函数的值分布的结果，丰富并推进了前人的工作，产生了深远影响。

亚纯函数的术语是由法国数学家布里奥和布凯共同引进的。2

本词条内容贡献者为:

王海侠 - 副教授 - 南京理工大学