[科普中国]-无条件基

Banach空间的基称为无条件基，如果对任何，级数是无条件收敛的。相应地，可定义无条件基序列。

定理1 若是Banach空间的基，则下列等价：

(1) 是无条件基。

(2) 对正整数的每个置换，是无条件基。

(3)若是收敛的，则对正整数集N的每个子集，是收敛的。

(4)若是收敛的，则当时，是收敛的2。

定理2 若是的一个无条件基(或无条件基序列)，是正整数集的一个子集，定义

(相应地，)(相应地，)

则是有界线性投影。

定义1如定理2中定义的算子称为关于无条件基(相应地，无条件基序列)的自然投影。容易看到，当时，与前面定义的关于基(相应地，基序列)的自然投影是相同的。

定理3若是X的一个无条件基(或无条件基序列)，是一个符号选取(即)。定义：

(相应地，)(相应地，)

则为一个有界线性算子。

定理4对如上定义，，有下列成立：

(1) 若，则。

(2) 若是两个符号选取，则

其中。

(3)。

定义2若是Banach空间X的无条件基(或无条件基序列)，是如上定义的，则称数为的无条件基(相应地，无条件基序列)常数。

容易看到，无条件基常数不小于基常数。

命题1若是X的无条件基，则存在X上一个等价范数，使的无条件基常数等于12。

命题2若是X的一个具无条件基常数K的无条件基，则相应坐标泛函是的一个无条件基序列，它具无条件基序列常数，不超过K；当是的基时，等于K。

有了这些准备工作之后，我们开始讨论，当X具无条件基时，X将具有什么性质。

定理5若X是具有无条件基的Banach空间，则下列等价：

(1) 基是有界完备的。

(2) X是w序列完备的。

(3) X没有闭子空间线性同胚于。

引理1若是Banach空间X的无条件基，它的无条件基常数是K，则对于使得收敛的数列及有界数列，有

注：当X是实Banach空间时，上式的右边2K可用K来代替。

引理2若是Banach空间的无条件基，是相应的坐标泛函，若是X中一个有界序列，使对每存在，且对每个，则

定理6若X是具无条件基的Banach空间，则下列等价：

(1) 基是收缩的。

(2) 相应的坐标泛函是的有界完备基。

(3) 相应的坐标泛函是的一个基。

(4) 是可分的。

(5) X没有闭子空间线性同胚于。

(6) 相应的坐标泛函是的无条件基。

定理7若X是具无条件基的Banach空间，则下列等价：

(1) X是自反的。

(2) X是w序列完备的，且X没有闭线性子空间线性同胚于。

(3) X没有闭线性子空间线性同胚于或。

(4) 不含闭线性子空间线性同胚于。

(5) 是可分的2。