[科普中国]-嘉当子群

概念介绍

嘉当子群(Cartan subgroup)是代数群的一个重要子群。指代数群G的极大环面的连通中心化子。当G是简约群时，嘉当子群就是G的极大环面。嘉当子群是以法国数学家嘉当的名字命名而来，以表彰他对代数理论作出的巨大贡献。2

群群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。

设G为一个非空集合，a、b、c为它的任意元素。如果对G所定义的一种代数运算“·”(称为“乘法”，运算结果称为“乘积”)满足：3

(1)封闭性，a·b∈G;

(2)结合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)对G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，则称G对于所定义的运算“·”构成一个群。例如，所有不等于零的实数，关于通常的乘法构成一个群;时针转动(关于模12加法)，构成一个群。

满足交换律的群，称为交换群。

群是数学最重要的概念之一，已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称，就存在群。例如，可以用研究图形在变换群下保持不变的性质，来定义各种几何学，即利用变换群对几何学进行分类。可以说，不了解群，就不可能理解现代数学。

1770年，拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是伽罗华在1830年首先提出的。

代数群代数群是指具有某种拓扑结构的群。代数群理论是群论与代数几何学结合的产物，可以看成李群理论的推广或者同李群理论平行的一个群论分支.若G是代数闭域K上的代数簇，又具有群的结构，且乘法运算G×G→G(这里的“×”表示簇的扎里斯基(Zariski，O.)积)与求逆运算G→G都是簇的态射，则称G为代数群。若G作为簇是不可约的，则称此代数群是连通的。代数群的闭子簇若同时也是个子群，则称为闭子群，它仍是个代数群。代数群关于它的正规闭子群的商群也是个代数群。例如，K上n级一般线性群(K上n级非奇异矩阵全体所成的群)GL(n，K)是代数群;K上n次特殊线性群(K上行列式1的n阶矩阵全体所成的群)SL(n，K)是GL(n，K)的闭子群.若代数群G的簇结构是仿射的，则称G为仿射代数群或线性代数群。采用后一术语的理由是，这种群都同构于某个GL(n，K)的闭子群。若G的簇结构是完备的，则称G为阿贝尔簇.阿贝尔簇的群结构很简单(都是阿贝尔群)，且被簇结构惟一决定，因此它的研究属于代数几何学的范畴。另一方面，对任意代数群G，总可以惟一地找到一个正规的仿射闭子群N，使G/N是阿贝尔簇。因此，代数群理论研究的主要是仿射的(即线性的)代数群，并把仿射代数群简称代数群。代数群及其表示理论与域论、多重线性代数、交换环论、代数几何、李群、李代数、有限单群理论以及群表示理论等数学分支都有十分密切的联系，是近年来代数学的一个相当活跃的分支。

子群子群是群的特殊的非空子集。群G的非空子集H，若对G的乘法也成为群，则称H为G的子群，记为H≤G。若子群H≠G，则称H为G的真子群，记为HG或简记为H