[科普中国]-自交数

闭折线边之间的交点称为自交点。自交点的个数称为自交数。

计算自交点，两边相交的算1个，三边相交的算3个，……，k边相交的算个，n边闭折线自交数记为。

如或1，在图1中，我们画出了分别具有自交数或5，或7的一个图形。

从中可以看出，0是的最小值(因多边形无自交点)；的最大值是5，相应的图形是星形，而的图形没有画出；的最大值为7，相应的图形类似于6角星(但有两条双折边)。那么，的最大值是什么呢?

我们知道，n边闭折线每条边最多同其他条边相交(因同它自身和两邻边不会相交)，因此自交点最多有个，就是必有

当n为奇数时，可以达到；

当n为偶数时，最大值为。

定理1 n边闭折线的最大自交数

证明：事实上，当时，只需构造以正n边形最长的对角线为边的正n角星即可，如图2，在两侧，各有正n边形的个顶点：对来说，其右侧还多了一个顶点这样，就可以连出对最长的对角线(每条同有一个交点)：。因此，共有个交点，考虑所有对角线(总共条)又每个交点算了两次，因此，交点总数是

对，可用如图3所示的闭折线(图中以n=10和12为例)，它顶点排列是很有规律的：奇数顶点在上，偶数顶点在下；“星形”是中心对称的。它有两条对折边和各与条对角线相交；其余条单折边各与条对角线相交，而每个交点都被算了两次，因而交点的总个数为

综合（2）、（3），即得（1）。

如应用调节号把(1)的两式合并，即得：

定理2 n边闭折线的最大自交数1